Vyřešil už někdo následující matematický paradox?

V matematice je možné prokázat, že mezi dvěma odlišnými libovolně blízkými reálnými čísly existuje alespoň jedno iracionální číslo. Přitom je možné dokázat i to, že mezi dvěma odlišnými libovolně blízkými iracionálními čísly existuje alespoň jedno racionální číslo.

Toto by bylo i v pořádku, jenže problém začíná tam, že také je možné matematicky dokázat, že četnost iracionálních čísel (přesněji řečeno: transcendentních čísel) je nekonečněkrát větší, než četnost racionálních čísel.

Z toho pak vyplývá, že na každé racionálne číslo připadá nekonečně mnoho iracionálních čísel a to je v rozporu s prvním tvrzením.

Podařilo se již matematikem odstranit tento rozpor? Pokud ano, tak jak?

Toto se zato ptám, neboť nejnověji platí definice (jinak je to možné, že to nebylo někdy nedávno „vymyšlené“, ale je to už dávno známé, jen já jsem o tom nevěděl), že mezi dvěma odlišnými libovolně blízkými racionálními (nebo iracionálními) čísly existuje nekonečně mnoho jiných reálných (racionálních a iracionálních) čísel. Teď nevím, že při tomto pojetí zda ještě platí výše uvedený paradox, nebo zda se to tímto odstranilo.

Pro bližší informace:

http://cs.wiki­pedia.org/wiki/Mo­hutnost_konti­nua