PavelJelinek

Vida, on se novější příspěvek zobrazuje nahoře. Tak chci jenom upozornit, že můj první (srozumitelnější) příspěvek je vespod, zatímco mé mnohem zamyšlení o rezistorech a impedanci je hned pod tímhle:

PavelJelinek

Oprava překlepu: „mé mnohem odbornější (náročnější na čtení) zamyšlení“

PavelJelinek

Zkusím tu užitečnost komplexních čísel vysvětlit podrobněji, ale bohužel to bude vyžadovat jistý rozhled a představivost ve fyzice a trošku i v chování (zejména násobení) komplexních čísel – viz:
https://cs.wi­kipedia.org/wi­ki/Komplexní_ro­vina
https://cs.wi­kipedia.org/wi­ki/Komplexní_čís­lo

Rezistory, cívky a kondenzátory

Ohmův zákon říká, že velikost stejnosměrného proudu i amplitudu střídavého proudu (tj. největší hodnotu sinusového kmitání) spočteme z napětí tak, že I = V / R, tj. napětí děleno ohmický odpor. Ovšem to platí jen tehdy, když ten proud teče součástkami (např. rezistory nebo velmi dlouhými/tenký­mi/špatně vodivými dráty), které mají pouze ohmický odpor, nikoli reaktanci (kterou způsobují cívky a kondenzátory).

Cívka brání (tj. klade odpor, ovšem nikoli ohmický, nýbrž reaktanci) střídavému proudu o vysoké frekvenci více než nízkofrekvenčnímu. Ten důvod zde pro nás není podstatný, ale je to (zjednodušeně) tím, že čím vyšší frekvence, tím rychlejší změny proudu – a ten pak indukuje tím vyšší napětí působící proti tomu původnímu napětí, které proud vyvolalo.

POZOR, je nutno mít pořád na paměti, že jsme v situaci, kdy známe frekvenci a amplitudu střídavého napětí, které „pouštíme“ do nějakého systému, a chceme vypočítat, jaký proud tím napětím vznikne.

Kondenzátor naopak více brání střídavému proudu o nízké frekvenci, protože když proud teče dlouho jedním směrem, kodenzátor se stihne víc naplnit (než u proudu o vysoké frekvenci) a toto napětí působí proti původnímu napětí.

Impedance jako komplexní číslo

Zjistilo se, že si lze nesmírně usnadnit výpočty, pokud definujeme impedanci jako

• kladné reálné číslo pro rezistor (nebo obecněji pro součástku s ohmickým odporem)
• kladný násobek imaginární jednotky (značí se „i“) pro cívku, přičemž tato reaktance se měří opět v ohmech a závisí na stavbě (tzv. indukčnosti) cívky a z výše uvedených důvodů i na frekvenci.
• záporný násobek imaginární jednotky pro

Je to též popsáno na https://cs.wi­kipedia.org/wi­ki/Impedance . Zcela na okraj zmíním, že přesný vzorec pro impedanci je (pokud se nepletu):

• úhlová rychlost w = 2 * pí / frekvence
• impedance Z = ohmický odpor + i * indučnost cívky * w – i * 1 / (kapacita kondenzátoru * w)

(kde „i“ je imaginární jednotka).

Zjistilo se totiž, že takto definovaná impedance nám pomůže snadno spočítat proud I, který dokáže nějaké napětí V vyvolat v nějakém systému, jehož chování (ohmický, indukční a kapacitový „odpor“) je popsáno impedancí Z.

Opět totiž platí I = V / |Z|, podobně jako v Ohmově zákonu, kde |Z| je absolutní hodnota (tj. vzdálenost od počátku v komplexní rovině) impedance; vyjadřuje se v ohmech, stejně jako ohmický odpor.

Impedance Z závisí na vlastnostech systému (např. kapacitě kondenzátoru) a frekvenci napětí. Pro různé frekvence nám tedy vztah I = V / |Z| dá různé hodnoty proudu – vždy takovou, jakou v dotyčném systému vyvolá napětí o dané frekvenci.

Fázový posun cívky a kondenzátoru

A to zdaleka není všechno. Zjistila se i další věc. Pokud si sinusově kmitající napětí představíme jako vektor rotující v komplexní rovině po kružnici, jejíž poloměr odpovídá amplitudě (tj. rozkmitu, maximální velikosti, https://cs.wi­kipedia.org/wi­ki/Amplituda) toho napětí, pak reálná část tohoto vektoru v daném čase představuje okamžitou hodnotu toho napětí. A já jsem byl úplně unešený, když jsem se dozvěděl, že vztah I = V / Z (tentokrát impedanci Z použiji bez absolutní hodnoty) dá vektor proudu, který opět rotuje v čase kolem počátku komplexní roviny a jeho reálná část je rovna okamžité hodnotě proudu.

Viz též https://cs.wi­kipedia.org/wi­ki/Fázor

Je jasné, že proud bude mít stejnou frekvenci jako napětí. Vztah I = V / |Z| umožňoval zjistit amplitudu (maximální velikost) proudu, ovšem vztah I = V / Z nám umožní zjistit i fázový posun.

Například u cívky se proud zpožďuje za napětím, protože když napětí roste, cívka vytváří protinapětí; když je napětí na vrcholku sinusoidy, napětí se v čase příliš nemění a proto cívka neklade proudu překážku – takže když napětí už dosáhlo vrcholu, proud teprve začíná růst. (Je to výklad naivní a zjednodušený, navíc si nejsem jeho správností jist, takže ho prosím berte s rezervou.)

Impedance Z u cívky leží v pravé horní polovině (protože každá součástka má alespoň malý ohmický odpor) – a podle pravidel komplexního násobení vztah V = I * Z způsobí, že vektor V bude směřovat nalevo od I. Je velmi dobré pamatovat na to, že násobení dvou komplexních čísel dá číslo, jehož úhel je součtem úhlů obou činitelů, a u dělení to bude rozdíl úhlů – viz https://cs.wi­kipedia.org/wi­ki/Komplexní_čís­lo#Goniometric­ký_tvar_komplex­ních_čísel .

Pokud komplexní číslo Z svírá s reálnou osou třeba 30 úhlových stupňů, pak vektor napětí bude o 30 úhlových stupňů předbíhat vektor proudu (je totiž pevná konvence, že vektory obíhají proti směru hodinových ručiček). Asi lepší by bylo říci, že proud bude zaostávat za napětím, protože známe napětí, které do systému pouštíme, a zajímá nás proud. A fázový posun mínus třicet stupňů znamená, že proud zaostává za napětím o 30/360 = dvanáctinu periody. Pokud je perioda např. 0.024 sekundy (to odpovídá frekvenci 1 / 0.024 kmitů za sekundu), pak se bude proud zpožďovat o 0.024 / 12 = 0.002 sekund za napětím. To důležité je, že nyní máme spočítaný časový průběh proudu, když známe průběh napětí.

Podrobnější vysvětlení: Pokud se ptáte, jak jsem z +30 stupňů došel k fázovému posunu –30 stupňů: Je to proto, že u cívky leží Z v pravém horním kvadrantu komplexní roviny, takže 1/Z leží v pravém spodním kvadrantu; úhel se definuje směrem nahoru od reálné osy, takže 1/Z má v našem příkladu úhel –30 (resp. +330) stupňů. Takže u cívky je reaktance kladná, Z v komplexní rovině leží vpravo nahoře a 1/Z vpravo dole, což znamená, že násobení číslem 1/Z úhel sníží: úhel proudu bude menší, než úhel napětí, a jak oba úhly v čase rostou, bude úhlu chvilku trvat (třeba oněch 0.002 sekundy), než doběhne na úhel, který má nyní napětí. Tj. proud se opožďuje za napětím.

U kondenzátoru je to opačně, než u cívky: proud předbíhá napětí, protože když se při sinusovém kmitání napětí blíží shora k nule a pak přejde do záporu, tak je kondenzátor nejvíc nabitý tím bývalým kladným napětím (a proudem), takže se hodně „snaží“ způsobit záporný proud – takže když napětí klesne pod nulu na své cestě k záporné amplitudě, tak proud už je hodně „záporný“, tj. předbíhá před napětím. (Ptáte-li se, co je to záporný proud: prostě se na začátku musíme rozhodnout, který směr proudu a napětí budeme značit jako kladný, a záporný proud je pak proud, který teče opačným směrem.)

A všechny tyto skutečnosti (o chování cívky a kondenzátoru), které jsme právě logicky odůvodnili, přesně vyjdou z toho vzorce I = V / Z, protože impedance Z bude u kondenzátoru ležet v pravé spodní čtvrtině komplexní roviny.

Další pozorování

Viděli jsme tedy, že skutečnosti, které umíme logicky odůvodnit (a elektrotechnici je dobře znají z praxe), přesně odpovídají tomu, co vyjde ze vzorce I = V / Z. Ale totéž platí i pro mnohé další skutečnosti, např.:

• Pokud má součástka ohmický odpor a jen nepatrnou kladnou reaktanci (tenký drát z nevalně vodivého materiálů, který je jen nepatrně zahnut do cívky), pak je imaginární složka komplexní impedance nepatrná, a tudíž fázový posun nám vyjde nepatrný. To přesně odpovídá tomu, že u čistě ohmického odporu není mezi napětím a proudem žádný posun (když je napětí největší, je největší i proud) a nepatrnou změnou parametrů můžeme fázový posun změnit jen nepatrně.
• Pokud má součástka malý ohmický odpor i reaktanci, bude proud velmi silný.
• Má-li malý ohmický odpor, ale nemalou kladnou reaktanci (tj. cívka z dobře vodivého drátu), pak bude fázový posuv skoro 90 stupňů, tj. čtvrtina periody.
• Při extrémně malé frekvenci se reaktance cívky blíží nule, ale reaktance kondenzátoru k nekonečnu, tj. systém se chová velmi podobně, jako stejnosměrný proud; tomu cívka neklade žádný odpor kromě ohmického, zatímco kondenzátor se prostě nabije na takovou hodnotu, aby přesně kompenzoval to stejnosměrné napětí.

Žasl jsem, když jsem se dozvěděl, že když známe vlastnosti součátek a chceme spočítat vlastnosti (zde: impedanci) systému, který vznikne sériovým či paralelním zapojením těchto součástek, tak pro impedanci platí stejná pravidla, jaké známe z Ohmova zákonu pro ohmický odpor: R = R1 + R2 pro sériové zapojení a 1/R = 1/R1 + 1/R2 pro paralelní – viz https://cs.wi­kipedia.org/wi­ki/Rezistor#Sé­riové_a_paralel­ní_řazení_rezis­torů

Tím lze rychle spočítat vlastnosti složitého systému rozmanitě zapojených rezistorů, cívek a kondenzátorů. Tím zjistíme, jaký bude mít vzniklý proud fázový posun a napětí.

To je tedy další věc, která nám vyjde prakticky zadarmo, když používáme komplexní impedanci, protože jinak bychom to museli počítat fakt dost složitě.

Rezonance

A to pořád není všechno. Zjistilo se totiž, že sériové i paralelní zapojení kondenzátoru s cívkou má tzv. rezonanční frekvenci: pokud do nich pustíme napětí o správné frekvenci, tak získáme nesrovnatelně vyšší proud, než při jiných frekvencích. Dokonce pokud bude ohmický odpor zanedbatelný (nebo teoreticky nulový) a tu frekvenci trefíme zcela přesně, tak bude proud neuvěřitelně vysoký (teoreticky nekonečný).

No a přesně to nám vyjde ze vzorce I = V / Z , protože s rostoucí frekvencí reaktance kapacitoru klesá, zatímco reaktance círvky roste, jak bylo vysvětleno výše. Takže při určité frekvenci se obě přesně vyruší (jejich součet bude 0 při sériovém zapojení – a u paralelního to také vyjde jako 0). Takže impedance bude nulová až na ohmický odpor, který je u dobré cívky či kondenzátoru zcela nepatrný (nejsem technik, tak prosím omluvte případnou nepřesnost nebo mě na ni upozorněte). A blíží-li se navíc ohmický odpor nule, blíží se proud nekonečnu (dělení komplexní nulou). Viz:

• https://cs.wi­kipedia.org/wi­ki/LC_obvod
• https://cs.wi­kipedia.org/wi­ki/Rezonanční_ob­vod

Ještě vysvětlím, proč existuje rezonanční frekvence, při které proud prudce vzroste.

Tenhle první odstavec s klidem ignorujte, je spíš pro pokročilé matematiky: Oscilace LC obvodu (obvodu cívky s kondenzátorem) se chová stejně, jako těleso na pružině nebo jako jiné mechanické oscilátory (přibližně tak se chová třeba setrvačník hodinek, oběh planet kolem slunce či třeba kmity struny kytary…) – v obou případech je popsán vztahem, kdy druhá derivace zkoumané hodnoty je rovna záporné konstantě krát zkoumaná hodnota … plus k tomu případně nějaké malé hodnoty jako je tření a odpor vzduchu, plus třeba zásah do systému z vnějšku (jako je třeba to střídavé napětí, co tam pouštíme).

Neděste se toho, např. u závaží zavěšeného na pružině je zrychlení přímo úměrné záporně vzaté poloze: Když třeba směr nahoru označíme kladně, tak v okamžiku, kdy je pružina hodně natažená směrem dolů, tak hodně táhne to závaží nahoru. To nabere kladnou rychlost, a když prosviští kolem rovnovážné polohy, tak je jeho zrychlení nulové (tah pružiny je v rovnováze s tíhovou silou závaží ), ale závaží dál setrvačností letí nahoru. Tam je jeho tíha (tj. gravitační přitažlivá síla způsobená jeho váhou) silnější, než tah pružiny (protože je teď kratší, tj. méně napnutá), takže závaží dostane záporné (tj. dolů směřující) zrychlení, které to závaží zpomalí, nakonec zastaví (pro jednoduchost předpokládejme, že dříve, než se pružina zkrátí úplně, protože tam by se to chovalo složitěji) a nakonec závaží vlastní tíhou padá dolů, nabere rychlost, až nakonec natáhne pružinu hodně směrem dolů… A tak se to stále opakuje, dokud tření a odpor vzduchu postupně nezmenší velikost (amplitudu) rozkmitu závaží.

Názornější asi bude uvažovat dítě na houpačce: představte si robota bez inteligence, který prostě houpačky strká v pravidelných intervalech, třeba jednou za pět sekund. (Na okraj: To strkání je výše uvedený „zásah do systému zvnějšku“.) Pokud frekvenci toho strkání zvolíme náhodně, tak ten strkanec jednou dítě urychlí, jindy zpomalí, prostě celkem náhodně, a to dítě se bude trochu houpat. Zřejmě NE výrazně více, než jak by ho rozhoupal jeden strkanec. To odpovídá situaci, kdy pustíme napětí s náhodnou frekvencí do LC obvodu (cívka + kondenzátor) a dostaneme nějaký (většinou nijak obrovský) proud.

Ovšem když to strkání provádí rodič, tak on to to svou lidskou inteligencí intuitivně (bez výpočtů) prostě pozná, že nejlepší je strčit tehdy, když dítě nejrychleji sviští od rodiče. To všichni známe; pěkně dítě rozhoupat umí i člověk, který nedokončil základní školu. Prostě to pozná, ale přesně totéž by dokázal robot, který to poznat neumí, ale je nastaven na frekvenci, když tu frekvenci zvoláme správně, když bude rovna rezonanční frekvenci. Pak se dítě rozhoupá nesrovnatelně víc, než by dokázal jeden strkanec.

Ovšem pokud je rozkmit houpačky příliš velký, třeba když se blíží devadesáti stupňům (kdy se dítě dostane skoro do výšky, kde je provaz houpačky uvázán ke stromu, nebo ještě výš), pak se houpačka začne chovat složitějším způsobem, který zde nebudu řešit. Dokud ale tohle nenastane, pak strkance se správnou (rezonanční) frekvencí rozhoupou dítě nesrovnatelně víc, než by dokázal jeden strkanec – to všichni známe; anebo dítě se také dokáže rozhoupat opravdu hodně sérií vhodně načasovaných odrazů nohama od země.

Ale kdybychom uvažovali nějakou „nekonečně velkou“ houpačku, kde se ty vlastnosti při velkém rozkmitu nezmění (budou stejné, jako při relativně malém rozkmitu), pak by ty strkance rozhoupávaly houpačku čím dál víc, takže její amplituda (maximální vzdálenost od klidové polohy) by rostla až SKORO do nekonečna (to je jako LC obvod s nepatrným ohmickým odporem) . A kdybychom teoreticky neměli odpor vzduchu apod., tak by rostla teoreticky ÚPLNĚ do nekonečna (to je jako LC obvod s nulovým ohmickým odporem, tedy Z = komplexní nula). Já vím, že to zní groteskně, protože délka provazu houpačky je nejvýš pár metrů – ale zdůraznil jsem, že tohle tvrzení o nekonečnu platí jen, kdyby houpačka na nekonečně dlouhém rozsahu měla podobné vlastnosti, jako má normálně (pro odborníky: Kdyby se všude chovala jako systém, kde druhá derivace polohy = záporná konstanta * poloha) ; houpačka rozkmitaná víc než do zhruba vodorovné polohy se takhle nechová (při malém rozkmitu se tak také nechová úplně přesně, ale to neřeším).

Pro názornost jsem použil strkance známé z pouťových houpaček, ale všechno by to platilo i tehdy, kdyby rodič na houpačku působil sinusovou silou (i když nevím, jak si to v realitě představit). A stejně jako správná frekvence rozkmitá houpačku téměř do nekonečně, tak správná (tj. rezonanční) frekvence napětí rozkmitá napětí a proud v LC obvodu na obrovskou hodnotu (teoreticky nekonečnou, nebo přesněji: omezenou pouze ohmickou složkou odporu).

Když dosadíme do vzorce pro chování kondenzátoru a induktoru (to tu dělat nebudu a ani nevím, jestli bych to zvládl), vyjde nám (v podstatě) přesně stejná diferenciální rovnice, jako u mechanického oscilátoru (těleso na pružině, nebo zhruba i na houpačce). Diferenciální rovnice je nástroj, jak předvídat chování nějakého systému – a tato („přesně stejná“) diferenciální rovnice má řešení, které přesně popisuje výše uvedené jevy o téměř nebo úplně nekonečném rozkmitu. Mimochodem, k řešení takových rovnic jsou také potřeba komplexní čísla a díky nim vyjde řešení nesrovnatelně přehledněji, než kdyby se to řešilo jiným způsobem. A ty rovnice popisují i bezpočet mechanických oscilátorů, jak jsem zmínil ve svém předchozím příspěvku.

To podstatné je, že z naprosto jednoduchého vzorečku:

• úhlová rychlost w = 2 * pí / frekvence
• impedance Z = ohmický odpor + i * indučnost cívky * w – i * 1 / (kapacita kondenzátoru * w)
• Proud I = V / Z

Takže z takto jednoduchého vzorečku vyplynou všechny výše uvedené vlastnosti elektrických obvodů. Dokonce i rezonance, která nastává, když se vyrovná indukční a kapacitorová (tj. cívková a kondenzátorová) reaktance.

Tohle vše je možné jen díky kompexním číslům.

Uff, to jsem se nějak rozepsal.
Pavel

PavelJelinek

Ano, imaginární (a komplexní) čísla velmi zjednodušují výpočty u elektronických obvodů. Nebo u tzv. diferenciálních rovnic, které se zabývají např. kmitáním. Takže u nejrůznějších zařízení (letadel, motorů, strojů…) například můžeme vypočítat, jestli nějaká součástka nebude nebezpečně kmitat, místo abychom museli postavit drahý prototyp a vyzkoušet to na něm. A kdykoli se rozhodneme změnit parametry (třeba tloušťku nějakého drátu), tak znovu.

Tím, že to můžeme vypočítat, lze u nejrůznějších konstrukcí a zařízení vyzkoušet v počítačové simulaci mnnoho různých možností a vypočítat, která se bude chovat nejlépe. Např. jak zkonstruované letadlo bude létat nejlevněji při rozumné ovladatelnosti a výrobní ceně. (Anebo třeba zjistíme, že požadovaný stroj sestrojit prostě neumíme – opět aniž bychom k tomu zjištění potřebovali vyrábět drahé prototypy.)

Imaginární (a komplexní) čísla zjednodušují složité technické (a jiné) výpočty stejně radikálně, jako záporná čísla zjednodušují výpočet zůstatku při jednoduchých obchodních transakcích. Dokud totiž nebyla vynalezena záporná čísla, tak museli obchodníci u každé transakce přemýšlet, kterou z následujících možností použít:

1. Dluží mně a ještě jsem mu dodal zboží → Cenu přičtu k dluhu.
2. Dluží mně a něco mně zaplatil, no tak tady jsou ještě podmožnosti:

2a. Zaplatil mně víc, než dluží, takže teď dlužím já jemu, a to o rozdíl mezi oběma částkami.
2b. Zaplatil tolik, kolik dluží, takže jsme si kvit.
2c. Zaplatil méně, než dluží, takže teď mně dluží už jen rozdíl mezi oběma částkami.
3. Dlužím mu a ještě mně zaplatil → Dlužím mu teď součet obou částek.
4. Dlužím mu a dodal jsem mu zboží (to se stane například u platby předem)
Tak to se větví na 4a, 4b, 4c podobně jako výše.
No a to ani nezmiňuji tuto možnost:
5. Jsme si kvit a teď koupil či zaplatil…

A bude ještě hůř: Pokud mně někdo dluží X a já jsem mu právě dodal zboží za Y a on přitom zaplatil Z, pak těch možností nebude 4, ale nejméně 8 – a navíc opět s podmožnostmi 8a, 8b, 8c apod.

Záporná čísla tohle úžasně zjednodušují, protože umožňují všechny tyto případy řešit jednotně: Pokud mně někdo dluží X (to může být kladné i záporné), právě jsem mu dodal zboží za Y (to může být záporné, pokud jsem ochoten vrátit peníze za vrácený produkt, co zákazníkovi nevyhovuje) a zároveň mně zaplatil Z (to může být záporné v řadě situací), pak mně nyní dluží X + Y – Z. Tečka. Jednoduché.

A pokud někomu dlužím X0 a tento měsíc se mnou provedl 100 transakcí (přijaté či odeslané platby a zboží) za X1, X2, … až X100, tak na konci jeho zůstatek je zkrátka součet těchto 101 čísel. Najednou je možné sérii transakcí snadno vypočítat, přičemž ani nezáleží na pořadí, v jakém jednotlivé položky sečteme (což bychom nevěděli, kdybychom nezavedli záporná čísla). Atd.

A studium záporných čísel vede k objevu velmi důležitých poznatků, které nám dále zjednoduší výpočet. Například že a*(b+c) = a*b + a*c. Například 100*(3+2) = 100*3 + 100*2. Takže pokud některé platby byly provedeny v českých groších, jiné v německých zlaťácích a ještě další v kravách či vejcích, tak je jedno, na kterou z jednotek tyto částky převedeme, abychom je mohli sčítat, ale musí to být všechno na stejnou jednotku. Anebo, pokud to v dané situaci vyhovuje víc, můžeme sečíst kladné a záporné platby v kravách, pak kladné a záporné ve zlaťácích atd. a až nakonec spočítat celkový výsledek.

Myslím, že na tohle lidé nejspíš nemohli přijít, dokud nevynalezli záporná čísla. No teď asi mírně přeháním: asi to nějak intuitivně tušili, ale u složitějších výpočtů to mohlo být nepřehledné a snadno by se udělaly chyby.

Jinými slovy, záporná čísla nám umožní pracovat jednoduše a jednotně s mnoha situacemi naráz – a navíc objevit mnoho zákonitostí.

A přesně totéž umí imaginární (a komplexní) čísla pro složitější matematické úlohy. Je to v technické praxi nesmírně významná pomůcka, která usnadní bezpočet technických (i jiných) výpočtů. Od konstrukce kyvadla u staromódních hodin až po předvídání pohybu planet a kosmických lodí.

Kdyby komplexní čísla nebyla zavedena, byly by technické výpočty (ať na papíře nebo počítačem) složitější – a nejspíš nepřeháním, když řeknu, že by byly složitější stejně radikálně, jako záporná čísla zjednodušila obchodní výpočty.

S trochou humoru, ale nejspíš bez nadsázky: Kdyby Severní Korea využívala k výpočtům komplexní čísla a my (tj. třeba NATO) ne, tak by jejich rakety byly o tolik lepší než naše, že – běda nám!

Pavel

PS: Raději zde mluvím o komplexních číslech než imaginárních, protože reálná čísla jsou násobky jedné, imaginární čísla jsou násobky imaginární jednotky („i“), a sčítáním obou dostáváme komplexní čísla, nesmírně mocný nástroj.