Po přihlášení na úřad práce se musim jít přihlásit na VZP, ale nedali mi žádný papír na ÚP, i tak tam můžu zajít?

Při evideni na ÚP jsi zcela jistě obdržel, popř. ti zašlou v nejbližších dnech potvrzení o registraci na ÚP ode dne: dd/mm/rrrr.
Tento papír předložíš na VZP. Já ho naskenoval a odeslal na pracoviště VZP a stačilo to. Jenže já jsem měl adresu pracovníka pobočky-pracoviště VZP. Na info@vzp.cz to asi stačit nebude.

https://www.vzp­.cz/pojistenci/in­formace-a-zivotni-situace/oznamovaci-povinnost

5. Skutečnosti rozhodné pro vznik nebo zánik povinnosti státu platit za něj pojistné je pojištěnec povinen oznámit své zdravotní pojišťovně nejpozději do osmi dnů.

Takže podle mně pokud jsi skončil zaměstnání k 30.6. od 1. za Tebe platí stát (pokud jste se včas přihlásil na UP) a nejpozdějí 8. možná 9. bys to měl pojišťovně oznámit. Povinnost je oznámit, nikoli prokázat. Nemyslím, že by chtěli nějaký extra papír. (bez záruky)
Doporučuji si tam zavolat a oni řeknou co budou chtít. Alespoň má zkušenos s VoZP je dost pozitivní, doufám že VZP alespoň základní dokumentaci taky zvládne (v rodině s VZP máme zkušenost o chlup horší, ale snad už i u tohoto molocha došlo k nějakému pokroku)