Může mít odmocnina z jedné výsledek –1? Když (-1) na druhou je 1?

novel

Ptám se proto, že mi jde o vysvětlení rovnice (nerovnice):
(-1)^6/2 = šestá odmocnina z (-1)^2
Slovně: mínus jedna na šest polovin je mínus jedna
šestá odmocnina z mínus jedna na druhou je jedna
Je to stejný zápis, tak proč je jiný výsledek?

Justin1

Tady není žádná šestá odmocnina. Šestka není ve jmenovateli toho zlomku v exponentu, je v čitateli.

Rozdíl je v tomto:

(–1)^(6/2) = (–1)^3 = –1
[(–1)^6]^(1/2) = 1^(1/2) = 1

Umocněním čísla –1 na šestou se nenávratně ztratí znaménko minus a žádným odmocňováním ho zpátky nedostaneme. Umocněním čísla –1 na třetí se zachová znaménko minus.

Vzorec (a^x)^y = a^(x · y) platí jen za určitých podmínek ( https://cs.wi­kipedia.org/wi­ki/Umoc%C5%88ov%­C3%A1n%C3%AD ). Je to vidět už na tom, že rovnost x = (x²)^(1/2) neplatí pro x < 0.

novel

Děkuji. Samozřejmě jsem chtěl napsat druhá odmocnina z –1 na šestou. Zamotal jsem se do toho. Je to stejně zvláštní, že jde (-1)^6/2 zapsat jako [(-1)^6]^1/2, ale výsledek je tak rozdílný :)

Justin1

Efemej: Pisatel otázky se neptá na definiční obor, ale na hodnotu. U sudých odmocnin se množině ⟨0; +∞) rovná nejen definiční obor, ale i obor hodnot.