Pokud věříte vysvětlení jazykovědců, obě slova jsou synonyma. To znamená , že jejich význam a užití záleží na kontextu, jak můžete zjistit z uvedených příkladů.

"prominouti dok.

1. (co; co komu; ~) přestat mít někomu za zlé něj. provinění; odpustit I 1: p. nezdvořilost, urážku; to mu neprominu; ve zdvořilostních formulích: promiňte, že obtěžuji; promiňte, spěchám; poněk. zast. račte p.
2. (komu co; co) přestat vyžadovat, vymáhat na někom něco povinného, jako povinnost ap. mu uloženého; odpustiti, osvobodit (koho od čeho): p. někomu dluh, pokutu; p. zkoušky; práv. prominutí trestu zánik trestnosti udělením milosti; (dř.) prominutí let předčasné prohlášení zletilým;

odpustiti dok. (3. mn. -í, rozk. -pusť, trp. -štěn)

1. (co; co komu; ~; †čemu) přestat mít někomu za zlé něj. (zprav. závažnější) provinění; prominout (vůbec): o. urážku; odpusť hříchy hříšnici! (Erb.); nemohu mu o., že to udělal; odpustili si navzájem; musíte mi ten výraz o.; časté ve zdvořilostních formulích, např. odpusť, pospíchám; poněk. zast. račte o.; zast. odpusťte mému mínění (Něm.);
♦ obecná čeština. odpusťme si, co jsme si (navzájem udělali)
2. (komu co) přestat vyžadovat, vymáhat od někoho něco, co je povinné, někomu (jako povinnost ap.) uložené, a prohlásit to za zrušené; prominout: o. někomu dluh, pokutu, trest; o. dětem práci, školu; byl na sebe přísný, neodpustil si při práci nic
3. odpustiti si (zprav. záp.) (co) opominout, zanedbat: neodpustil si kousavou poznámku; nemohl si o., aby ho nepozlobil
4. zastaratle . a nářečně. (koho, 4. p.) dovolit někomu odchod: rodiče byli přísní a neodpustili než vždycky jednu z (dvou) holek z domu (do zábavy) (Svět.);

http://priruc­ka.ujc.cas.cz/?slo­vo=odpustit

Upravil/a: annas

Ono je to obsaženo už v tom slovu:
odpustit – tzn. že pustit, vypustit, zapomenout. Když Vám tedy např. někdo slovně ublíží (vědomně),
tak se snažit na tyto slova zapomenout, tzv. vytěsnit je z paměti

„Naučme se chápat rozdíl mezi slovy prominout a odpustit. Odpuštění neznamená, že něco promíjíme, schvalujeme, akceptujeme. Odpuštění především znamená, že to přijímáme – jako fakt.“ 🙂
See more at: https://www.fir­stclass.cz/2016/06/7-vet-kterymi-se-nikdy-netrestejme/2/#sthash­.rC1jUulz.dpuf