Znamenají v angličtině slova „will not“ a „won't“ totéž, nebo každé něco jiného?

Sice, jak už bylo řečeno, znamenají tyto výrazy totéž, ale z toho tak úplně nevyplývá, že jsou vždy libovolně zaměnitelné.
Zkrácená verze je totiž neformální, nehodí se tudíž do např. formálního písemného stylu (úředních dopisů apod.).

Ano, „will not“ a „won't“ znamenají totéž – jsou to různé formy záporného tvaru slovesa „will“. „Won't“ je pouze zkrácená, hovorová forma „will not“. Použití jedné či druhé formy záleží na kontextu – ve formálních situacích je lepší použít „will not“, v hovorové angličtině naopak častěji najdete „won't“.

Je to to samé. To druhé je zkrácená verze.