musí biologický otec platit výživné, když není uvedený v rodném listě?

Nemusí.

Zdroj: http://www.bez­platnapravnipo­radna.cz

Pokud není uveden v rodném listě a nemá žádné jiné právo vůči dítěti (poručnické právo, adopce atd.) tak nemůže být po něm vymáháno právo na výživné ani jiné.
Příklad: Když je dítě adoptováno bez toho, aniž by mělo v rodném listě zapsáno otce, tak nemůže biologický otec zpětně vyžadovat jakékoli právo na dítěti a naopak, ovšem může se stát například poručníkem dítěte.