Má slovo mrzák souvislost se slovem mrzet?

Ano.
„mrzák: mrzačit, zmrzačit. Vlastně ‘ošklivý, odporný člověk’, srov. stč. mrzatý
‘ošklivý’, dále viz :mrzet
"mrzet, mrzký, mrzutý, mrzutost, mrzout, zamrzet, omrzet, rozmrzelý. Stč. mrzěti ‘hnusit se, být protivný, nemilý’. Všesl. – p. mierzyć, r. merzít’, s./ch. mr̷ziti ‘nenávidět, nemít rád’, stsl. mrьzěti. Psl. mьrziti/mьrzěti nejspíš přeneseně souvisí s :mrznout, mráz – původní význam asi byl ‘mrazit’ = ‘být protivný, nepříjemný’.“

(Rejzek, J.: "Český etymologický slovník, Leda 2002: s. 411, 412)

Mrzák 
(L. M.) Výklad, který o tomto slově podává 8. vyd. Rankova Všeobecného slovníku příručného (v díle česko-německém str. 328), že totiž slovo mrzák je obměnou ital. slova morsiaccha, je najisto nesprávný, třebas význam slova italského nám není jasný (ital. morsecchiare, morsicare znamená pokousati; slovo morsiaccha jsme hledali marně). Mrzák je slovo téhož kmene, který je v slovese mrzeti, v příd. jménech mrzutý n. mrzký a p., a znamenalo tedy původně člověka lidem nemilého, protivného, obtížného (ten a ne dnešní význam zajisté je i v jediném dokladě stč., jejž uvádí Gebauer v Slov. stč.: chcme-li do nebe, musíš [!] mrzákem býti světa, t. j. světu nemilým, protivným, jakož i v dokladě, který cituje Jungmann z Lomnického: jak je kdo miláčkem, tak může býti mrzáčkem). Při názorech starší doby, které ještě byly daleky našemu cítění humánnímu, byl takovým mrzákem, člověkem rodině, společnosti atd. nemilým a obtížným, zvláště člověk s vážnou vadou tělesnou, na př. chromý, bezruký atd. V tom pojetí se pak význam slova mrzák ustálil a stal se dnes významem jediným. Sloveso mrzeti samo pak souvisí etymologicky se slovesem mrznouti; nepříjemný pocit zimy (mrznutí) byl podnětem, že se slovesný kmen mrz- stal označením pro nepříjemný pocit vůbec — podobným způsobem jako u slov styděti se, stud, která mají týž základ etymologický jako slova stydnouti, studený. 
 
http://nase-rec.ujc.cas.cz/ar­chiv.php?art=2470