Je nesouhlas s politikou hlavy státu důvodem pro azyl v jiném státě? Mohou k nám vycestovat Rusové, nebo mají smůlu?

Ano – politický azyl.
V Rusku lidé končí ve vězení za to, že si stoupnou na náměstí s nepopsaným kusem papíru. U nás nemyslitelné, v Rusku realita.

Azyl (z řec. asylon, útočiště) je právní ochrana uprchlého cizince, který ve státě, jehož je státním občanem nebo kde bydlel (pokud jde o osobu bez státního občanství), má opodstatněné obavy z pronásledování, z rasových, náboženských nebo národnostních důvodů, z důvodů sexuální orientace či zdravotního stavu, kvůli zastávání určitých politických názorů či hlásání těchto názorů, přičemž tyto postoje jsou hodnoceny jako legitimní (např. ne nutně propagace nacismu), pro biologickou příbuznost s nějakou osobou nebo kvůli příslušnosti k určitému sociálnímu agregátu (např. náhodní svědci zločinů proti lidskosti) či sociální skupině, která nemá charakter zločinecké organizace, kvůli svému zvláštnímu tělesnému či jinému znamení, jež by mohlo být spojováno s nebezpečnými předsudky (např. pověry o čarodějnictví v rovníkové Africe), obává se výkonu soudně či jinak uloženého trestu, jenž je hodnocen jako nepřiměřeně přísný, exemplární trest či jako trest nehumánní (např. z pohledu mnoha států trest smrti), nebo možnosti, že takový trest bude uložen, a vzhledem k těmto obavám se nechce nebo nemůže vrátit zpět do svého domovského státu. Právo na azyl neodvisí od toho, zda důvody předjímané perzekuce jsou skutečné, či jen domnělé (např. odsouzení ve vykonstruovaném procesu za účast na smyšlené činnosti neexistující sabotážní skupiny).
Se vznikajícím absolutismem raného novověku byl azyl v Evropě zrušen a byl obnoven až s potřebou chránit uprchlíky totalitních režimů ve 20. století.
(Wikipedia)

Obecně ne.
Azyl totiž mohou dostat jen pronásledovaní nebo osoby, které mají oprávněné obavy z pronásledování. Samozřejmě se ale mezi ně řadí i politicky pronásledovaní – ale musí tu být ta důvodná obava. Je to logické: třeba nějaký Čech si může myslet, že Zeman (nebo Pekarová, dosaďte podle libosti) je v.l / krá.a, ale to není důvod, aby dostal azyl v jiné zemi.