Existuje mobilní internet který by šel zapnout jen ve dnech když je to potřeba, a nestál by majlant…

Existuje. Má to většina operátorů.

Třeba u O2, pokud nemáte vůbec žádný datový tarif, funguje „internet na den“ – což je nějakých 40 (?) Kč/den s limitem pár desítek MB.

Samozřejmě to operátor moc neinzeruje, ale na použití třeba 2–3 dny v měsíci to stačí. Když je na té kartě i jako základní tarif „zero“, neplatí se pak už vůbec nic dalšího.
Na častější použití se už vyplatí běžné měsíční tarify.

https://www.os­karta.cz/kde-koupit
http://www.mo­bil.cz/

Internet na jeden den má většina operátorů. Je ale poměrně drahý. Výhodnější je mít tarif s nějakým objemem dat v ceně a v případě potřeby si data dokoupit. Např. Gorila má v základním tarifu 0,5 GB dat.