Může ústavní soudce dát podnět k ústavnímu soudu?

Určitě může, tak jako každý. Kdyby nemohl, byl by krácen na svých občanských právech.

Kdo je oprávněn podat ústavní stížnost, stanoví ustanovení § 72 odst. 1 zákona č. 182/1993 Sb., o Ústavním soudu. Podle tohoto ustanovení je ústavní stížnost oprávněna podat fyzická nebo právnická osoba, jestliže tvrdí, že pravomocným rozhodnutím v řízení, jehož byla účastníkem, opatřením nebo jiným zásahem orgánu veřejné moci bylo porušeno její základní právo nebo svoboda zaručené ústavním pořádkem.

Upravil/a: Emefej

Nemůže. To nem§že uvádím proto, protože Ústavní soud se nezabývá občanskoprávním sporem, ale ústavností – tedy porušením práv a svobod podle Ústavy.
Bližší údaje kdo proč a jak jsou zde:
http://www.usou­d.cz/pruvodce-rizenim-o-ustavni-stiznosti/