Jaký je rozdil mezi cotangens a arcustangens?

Není. Pleteš si numerické a logické vyjádření. Máš pravdu, že cotg x = 1/(tg x), avšak numerický vztah arctg x = 1/(tg x) neplatí. Správné vyjádření je, že arctg je funkce inverzní k tg, nikoliv že je jeho numerickou převrácenou hodnotou. To znamená, že definujeme-li velikost úhlu jako x a jeho tangens (tedy tg x) jako y, pak platí, že arctg y = x. Jinými slovy a konkrétně pro x = 0,5 rad: tg x ≐ 0,546302 a zároveň: arctg 0,546302 ≐ 0,5 (rad). Pochopil? (Zaokrouhlil jsem, protože to číslo 0,546302… má nekonečný desetinný rozvoj.)

To tangens na mínus prvou je zřejmě z anglického prostředí, protože tam místo zkratky arctg x používají buď atan x anebo tan⁻¹ x. Opakuji, že to ale numericky není pravda.

Upravil/a: cochee

Je to tak, jak píše cochee. Jednoduše řečeno funkce tg přiřazuje nějakému úhlu číslo a arctg přiřazuje číslu zase úhel. Platí-li tedy y = tg x, pak x = arctg y.
V tomto smyslu lze v zápisu formálně (symbolicky) nahradit arctg y výrazem tan⁻¹ y.
Takže 1/( tg x) = (tg x)⁻¹ = cotg x a není to tudíž inverzní funkce k funkci tg x.
Je třeba rozlišovat tan⁻¹ x a (tg x)⁻¹ !!!
Koukni se ještě sem: https://matema­tika.cz/inver­zni-funkce