Pokud server přestane být činným, zůstanou „jeho weby“ (data) viset na síti, nebo definitivně zmizí z internetu?

Nepříliš srozumitelná otázka.
Někde existuje počítač, připojený k internetu. Na tom počítači jsou uložená data a spuštěný program HTTP serveru. Klient (webový prohlížeč) pošle tomu serveru dotaz. Program HTTP serveru dotaz vyhodnotí a zpět na adresu klienta pošle odpověď, kterou vytvoří z uložených dat. Klient odpověď zobrazí uživateli v lidsky srozumitelné formě.
Pokud ten počítač vypnu nebo odpojím od sítě nebo zastavím program HTTP serveru, tak klient nedostane odpověď a data se jeví, jako že na internetu nejsou. Ale uložená v tom počítači zůstala, neztratila se.

Nemusí zmizet úplně. Existuje projekt Internet Archive Wayback Machine, který weby pravidelně uschováná.

Zdroj: web.archive.org

Asi se to bude lišit případ od případu. Dejme tomu takoví spolužáci.cz. Kvůli GDPR se rozhodli, že to radši zapíchnou, ale do konce prázdnin budou ještě fungovat v omezeném provozu. Pak zmizí definitivně.

Treba rozlišovať pojmy doména a server, keďže sú to rozdielne veci a v druhej časti tejto otázky sa zdá sa pletú.

Doména (napríklad www.odpovedi.cz) je text zrozumiteľný (a v ideálnom prípade ľahko zapamätateľný) pre ľudí a tá by mala v ideálnom prípade byť nasmerovaná na nejaký server, ktorý posiela dáta, čo sa majú zobraziť. Tento proces zaisťujú takzvané DNS servery (DNS je skratka od Domain Name System), ktoré ku doméne zadanej do prehliadača vracajú IP adresu príslušného servera. Vďaka IP adrese prehliadač už vie koho osloviť a môže teda komunikovať so serverom a vie mu posielať žiadosti o dáta a server mu ich vie poslať. IP adresa je väčšinou zapisovaná ako 4 maximálne 3 ciferné čísla za sebou oddelené bodkou, napr. 151.101.129.121, čo vysvetľuje, prečo potrebujeme domény a DNS servery na to, aby sme sa k nejakým stránkam vedeli dostať a v budúcnosti vrátiť.

Áno, za doménu treba platiť, ale ani servery, prípadne ich prenájom, nie sú zadarmo. Ak si držiteľ domény prestane platiť za jej prenájom, tak autorita, čo mu ju prenajala pravdepodobne zmaže adresu servera, čo mal v DNS systéme uloženú. Takže keď potom hocikto v prehliadači napíše meno domény, DNS systém mu nevráti IP adresu, ale chybu, aj keď bude server fungovať správne. Ale obsah webu bude stále na servri a bude prístupný, ale užívateľ sa k nemu dostane iba ak do prehliadača zadá rovno IP adresu servra.

Ak by mal majiteľ webstránky zaplatenú doménu, ale príde o server, napríklad keď si prestane platiť webhosting (co to je sa mi nechce rozpisovať, prečítajte si článok v zdroji), tak z domény bude presmerovaný na IP adresu servra, ale ak ten už nebude prístupný sa prehliadaču neozve a nič nevráti.

Zdroj: https://www.web­hostingcentrum­.cz/k-cemu-slouzi-webhosting/