Může policie zjistit IP adresu ze zpráv napsaných na fb?

Ano, může – např. z logů na serverech…

Obecně může, dohledá i konkrétní počítač nebo mobilní přístroj, má totiž ze zákona možnost ptát se operátorů atd., ale pouze v rámci vyšetřování nějakého trestného činu. Pochybuju ale, že by řešila facebook (pokud to nebylo svolání demonstrace ve Šluknově nebo něco podobného)…

Když si s tím dá práci, tak dokáže identifikovat i toho, kdo tu zprávu na FB napsal a nejen IP adresu počítače/mobilu. Pokud ale nebudeš svými zprávami porušovat bezpečnost státu nebo jeho spojenců, tak se na hledání autora zprávy vyprdnou.

spíš ne.
Ale technicky to možné je.