Jak se bude chovat bojler na ohřev teplé vody, pokud nebude mít ze zdroje dostatečný proud?

Tak buďto pomaleji ohřívá (v případě nižšího napětí), nebo vůbec neohřeje (bez napětí), vodu.
Proud elektrického ohřívače je dán odporem topného tělesa a provozním napětím. Z těchto tří veličin se počítá topný výkon/příkon. A výkon je podstatný pro dobu ohřevu.
Příklad: v případě daného tělesa, třeba na 230V, je třeba běžný výkon topného tělesa 2 kW a bojler 100 l se ohřeje za cca 6 hodin. Pokud je napětí na tělese nižší, je rovněž podstatně nižší i proud a výkon, takže ohřev bude trvat o to déle.
Dá se to vše spočítat.

Řekl bych, že se bude snažit ohřívat vodu tím proudem, který bude mít k dispozici.

Standardně u elektroinstalace neexistuje „nedostatečný proud“. Buď bude vše jak má být, nebo vylítnou pojistky/jističe.
Jinak máme nějaké VA charakteristiky a stav obvodu se ustálí tam, kde se charakteristika zdroje protne s charakteristikou zátěže.
Ale pokud Ti vedení nedokáže dát dostatečný proud, znamená to, že je silně přetížené a tudíž se někde něco pravděpodobně bude šíleně přehřívat až hořet. Právě proto máme pojistky a jističe aby v případě takového stavu se daná část obvodu odpojila a tím se předešlo další škodě (např. požáru)

Bude ohřívat výkonem daným součinem napětí a proudu. V praxi nedostatečný zdroj bude přetížený, takže ho ochrana odpojí.